Роман Звонков родился на Урале, в городе Свердловске (ныне — Екатеринбург)? в юности переехал в Украину. Сумы стали ему вторым домом. И хотя свой спортивный путь он начинал в юношеской сборной России, переехав в Сумы, стремительно набирал обороты и за короткое время стал лидером и любимцем национальной сборной команды.

Всегда тепло вспоминает о нем Елена Петрова — серебряный призер Олимпийских игр в Ногано по биатлону (ныне возглавляет Сумское областное отделение НОК Украины): «Рома всегда был примером порядочности, доброты и спортивного профессионализма. В нашей памяти он остался хорошим человеком с чистой душой».

Роман Звонков был победителем первенства СССР среди молодежи, бронзовым призером чемпионатов Советского Союза и Европы, участником Олимпийских игр в Лиллехаммере и многократным чемпионом Украины. На чемпионате мира в 1995 году он занял четвертое место в гонке на 20 км и пятое — в командной гонке. И в том же году, в возрасте 26 лет, трагически ушел из жизни… С тех пор ежегодно, в августе, проходит турнир в его честь, посоревноваться на который приезжают сильнейшие украинские биатлонисты.